Memperkirakan Akar Pangkar Dua Suatu Bilangan

Ketika mengkuadratkan suatu bilangan, kita akan mengalikannya dengan bilangan itu sendiri. Mencari akar pangkat dua sebuah bilangan adalah melakukan kebalikan dari proses ini. Untuk mencari akar pangkat dua dari 16, kita harus mencari bilangan apa yang bila dikalikan dengan bilangan itu sendiri menghasilkan 16. Jawabannya tentu saja 4. Akar kuadrat 25 adalah 5, sebab 5 dikali 5 sama dengan 25. Berapakah akar pangkar dua dari 64? Jawabannya adalah 8, sebab 8 dikali 8 sama dengan 64. 

Bagaimana dengan akar pangkat 56? Ini akan lebih sulit karena 56 bukan merupakan kuadrat bilangan bulat. 7 kali 7 sama dengan 49 (terlalu kecil) dan 8 dikali 8 sama dengan 64 (terlalu besar). Jawabannya pasti dantara 7 dan 8. untuk itulah kita akan memperkirakan akar kuadrat. Kita memilih bilangan yang kuadratnya lebih kecil dari bilangan yang sedang kita kerjakan. Di sini, kita harus memperkirakan akar kuadrat dari 56. jadi, kita memilih bilangan yang jika dikuadratkan hasilnya lebih kecil dari 56. Kemudian, bagilah 56 dengan bilangan yang kita pilih.

Kita memilih 7, karena jika jika dikuadratkan hasilnya lebih kecil dari 56. 8 akan terlalu  besar karena jika dikuadratkan hasilnya akan lebih tinggi dari 56.

Kemudian carilah rata-rata antara 7 dan 8. jawabannya adalah 7,5. (cara untuk mencari rata-rata adalah dengan menjumlahkan seluruh bilangan, kemudian membagi hasilnya dengan banyaknya bilangan yang kita jumlahkan).

Jawaban ini akan selalu lebih tinggi dari jawaban yang sebenarnya. Jadi, kita harus membulatkan ke bawah menjadi 7,48. Jawaban 7,48 tepat untuk tiga angka sedangkan jawaban kita yang pertama 7,5 tepat untuk dua angka. Seringkali, kita akan memerlukan ketepatan.

Marilah kita coba dengan contoh berikut:

           

Pertama-tama, cobalah untuk memperkirakan akar kuadratnya.

               8 (8 x 8 = 64) 

Sekarang bagilah degan perkiraanmu.

                  70 : 8 = 8,75

Kemudian, carilah selisih antara 8,75 dengan 8 (perkiraanmu).

                  8,75 – 8 = 0,75

Bagilah hasil selisih tadi dengan 2.

                  0,75 : 2 = 0,375

Akhirnya, tambahkanlah hasil ini pada perkiraanmu.

                  8 + 0,375 = 8,375

Jawaban ini selalu sedikit lebih tinggi, jadi bulatkanlah ke bawah. Di sini, bulatkan jawaban menjadi 8,37. keakuratan jawaban ini kira-kira 0,05 %.

a.       Mengalokasikan Satu Angka dari Setiap Pasang Angka dalam Bilangan yang sedang Kita Kerjakan untuk Jawaban.

Dalam contoh ini, jawaban kita akan berupa dua angka. Abaikan semua angka setalah angka desimal. Bahkan jika memepunyai dua angka untuk pasangna angka yang ada di sebelah kiri angka itu, masih teteap dihitung sebagai satu pasang angka.

Untuk menghitung angka pertama dari jawaban, kita memperkirakan akar kuadrat dari dua bilangan yang pertama. Perkiraan kita untuk akar kuadrat dari 31 adalah 5 (5 x 5 = 25). Angka-angka berikutnya pada jawaban perkiraan kita selaalu nol (0). Ada satu angka lagi pada jawaban, jadi kita menambahkan satu nol pada 5 sehingga menjadi 50. untuk memebagi dengan 50, kita membagi debngan 10 kemudian dengan 5.

      3125 : 10 = 312,5

Sekarang kita memebaginya dengan 5 untuk mendapatkan 62,5.

Carilah selisihnya kemudian bagilah.

      62,5 – 50 = 12,5

         12,5 : 2 = 6,5

Bulatkan ke bawah untuk mendapatkan 6 dan tambahkanlah pada perkiraanmu.

      50 + 6 = 56

            JAWABAN

Jika kamu menggunakan kalkulator, jawabannya akan menjadi seperti berikut ini.

     

Keakuratan jawaban kita adalah 0,2 %. Walaupun kita telah membulatkan ke  bawah, keakuratan jawaban kita di bawah 1 %.

Perhitungan ini bisa dilakukan dengan mudah di luar kepala. Sedangkan saat ini masih ada banyak orang yang belum bisa menghitung akar kuadrat dengan menggunakan kertas dan bolpoin.

b.      Perhitungan di Luar Kepala.

Lakukan perhitungan berikut ini di luar kepala. Berapakah akar kuadrat dari 500 atau 

Pertama-tama, kita memecah bilangan menjadi pasangan angka, berapa pasang angka yang kita punya? Dua. Jadi, jawaban kita akan berupa dua agka.

Angka berapa yang merupakan pasangan angka pertama? 5. Berapakah akar kuadrat dari 5? Kita memilih 2 karena 2 x 2 = 4. Akar kuadrat angka yang kedua adalah 0. Jadi perkiraan kita adalah 20. Sekarang, kita membagi 500 dengan 20. Bagaimana kita melakukannya?. Kita membagi 500 dengan 10m kemudian dengan 2.

      500 : 10 = 50

      50 : 2 = 25

Carilah rata-rata antara 20 dan 25 untuk mendapatkan 22,5. Kita membulatkannya ke bawah sehingga menjadi 22,4.

Jawaban jika menggunakan kalkulator adalah 22,36.

Perkiraan kita 22,5 mempunyai 0,5 % kesalahan. Pembulatan kita 22,4 membuat kesalahan menjadi kurang dari 0,2 %. Untuk penghitungan di luar kepala, jawaban ini sudah cukup baik, terutama jika kita menyadari bahwa kebanyakan orang menggunakan kalkulator untuk mengukur akar kuadrat. Jika kamu bisa menghitung akar kuadrat di luar kepala, kamu pasti akan dianggap sebagai seorang ahli matematika.

Marilah kita coba mengerjakan contoh berikut ini.

    

Pasangkan angka-angkanya dari belakang.

         *  *  *

Pasangan angka yang pertama adalah 9. Akar kuadrat dari 9 adalah 3 (3 x 3 = 9). Ada tiga pasang angka, jadi kita menambahkan dua buah nol pada 3 untuk membuatnya menjadi 300.

Untuk membagi dengan 300, kita membagi dengan 100 dan kemudian dengan 3. (Untuk membagi dengan 100, gerakanlah tanda desimal dua tempat ke kiri.)

      93560 : 100 = 935,60

 

      311,86 – 300 = 11,86

      11,86 : 2 = 5,93, bulatkan ke bawah menjadi 5,9

      300 + 5,9 = 305,9

Jika kita menggunakan kalkulator, jawabannya adalah 305,8758. Kita mempunyai kesalahan 0,0079 %.

Marilah kita coba dengan satu contoh lagi.

Soal ini terlihat mengesankan. Jika kita melakukan perhitungan di luar kepala, kita bisa membulatkannya terlebih dahulu sebelum memulainya.

Pertama-tama, pasangkanlah angka-angkanya

     

           *   *   *   *

Ada empat pasang angka, jadi jawabannya berupa empat angka.

Pasangan angka yang pertama adalah 38. Kita memperkirakan akar kuadrat dari 38 adalah 6 karena 6 x 6 = 36. kita mengubah pasangan-pasangan angka berikutnya dengan nol, jadi perkiraan kita adalah 6000.

Bagilah 38472148 dengan 6000 (Bagi dengan 1000 terlebih dahulu kemudian dengan 6.)

      38472148 : 1000 = 38472,48

Karena kita  hanya memperkirakan, kita bisa mengabaikan angka-angka setelah tanda desimal. Sekarang, bagilah 38472 dengan 6.

      38472 : 6 = 6412

Kita mengurangi 6412 dengan 6000 sehingga mendapatkan 412. Setengah dari 412 adalah 206. (setengah dari 400 adalah 200 sedangkan setengah dari 12 adalah 6.)

Tambahkan 206 pada perkiraan kita sehingga menghasilkan 6206. Bulatkan 6206 ke bawah.

6200                                JAWABAN

 Jawaban sebenarnya adalah 6202,59. sebagai latihan, perkiraan sudah cukup baik. Akan tetapi, jika kita menginginkan jawaban yang akurat, metode yang akan saya ajarkan pada bab berikutnya adalah metode yang paling mudah.

c.       Ketika Bilangan Sedikit Lebih Kecil dari Bilangan Kuadrat.

Semakin akurat perkiraanmu akan semakin akurat jawaban akhirmu. Untuk itu, kita perlu memilih sebuah perkiraan yang paling mendekati akar kuadrat yang sebenarnya. Sejauh ini, contoh-contoh yang sudah kita kerjakan lebih besar dari sebuah kuadrat. Misalnya pada contoh terakhir. 2600 lebih besar dari 50 kuadrat (2500). Jadi, kita menggunakan 50 sebagai perkiraan.

Berikut ini adalah prosedur untuk bekerja dengan bilangan-bilangan yang lebih kecil dari sebuah kuadrat. Untuk mendapatkan jawaban yang lebih akurat, selain memilih bilangan yang lebih kecil untuk perkiraan pertama, kita juga bisa memilih bilangan yang lebih besar jika bilangan tersebut lebih mendekati jawaban.

Sebagai contoh:

  

Pecahkan bilangan menjadi pasangan angka.

    

          *   *

Kita memperkirakan akar kuadrat dari 24 adalah 5 karena 24 lebih dekat dengan 5 kuadrat (25) daripada dengan 4 kuadrat (16). Perkiraan kita untuk akar kuadrat dari 2400 adalah 50.

Sekarang kita membagi 2400 dengan 50. untuk membagi dengan 50, bagilah dengan 100 terlebih dahulu kemudian gandakanlah jawabannya (50 = 100 : 2).

                        2400 : 100 = 24

                        24 x 2 = 46

Kurangilah 50 dengan 48 kemudian jawabannya dibagi 2.

      50 – 48 = 2

      2 : 2 = 1

Tambahkan 1 ke 48 sehingga jawaban kita menjadi 49. kalkulator memberikan jawaban 4898979, sehingga kesalahan yang kita buat kira-kira 0,02 %.

d.      Cara Pintas.

Apa yang akan kita lakukan adalah mencari rata-rata sebuah jumlah. Untuk mencarai rata-rata antara 78,75 dengan 80, kita menambahkannya (158,75) dan membagi dua hasilnya. Perhatikanlah cara pintas berikut ini. Kita tahu bahwa hasilnya akan berkisar pada angka tujuh puluhan, jadi 7 adalah angka pertama jawaban. Untuk  mencari sisa jawaban, letakkan 1 di depan 8,75 sehingga menjadi 18,75 kemudian bagilah dua. Kita tidak memerlukan penjumlahan atau pengurangan lebih lanjut. Setengah dari 18 adalah 9. etakkan 9 di belakang 7 sehingga menjadi 79. Setengah dari 75 adalah 37,5 sehingga jawaban kita menjadi 79,375. kita akan membulatkannya ke bawah sehingga menjadi 79,37.

Jawaban yang sebenarnya adalah 79,3725 berarti kesalahan yang kita buat adalah 0,003 %. Jika seandainya kita menggunakan 70sebagai perkiraan pertama, mestinya kita akan mendapatkan jawaban 80. Mengapa car pintas ini bisa bekerja? Karena, kita mencari rata-rata antara 78,75 dan 80 dengan menjumlahkannya kemudian memebagi dua jawabannya.

78,75 + 80 = 158,75

158,75 : 2 = 79,375

Ketika kita membagi 15 dengan 2, kita mendapatkan jawaban 7 dan menyimpan sisa 1 untuk 8 sehingga menjadi 18. Dalam cara pintas yang kita lakukan, kita menghapus bagian perhitungan.    

e.       Keakuratan yang Lebih Pasti.

Jika kita menginginkan keakuratan yang lebih pasti, kita bisa mengulang prosedur denga jawaban perkiraan sebagai perkiraan yang kedua.

Marilah kita gunakan contoh berikut ini.

Perkiraan pertama kita adalah 7 (7 x 7 = 49)

56 : 7 = 8

8 – 7 = 1 (selisih)

1 : 2 = 0,5

7 + 0,5 = 7,5

Sekarang, ulangilah prosesnya. Bagilah 56 dengan 7,5. Tidaklah sulit untuk membagi dengan 7,5. caranya sama dengan membagi 112 dengan 15 atau 224 dengan 30. Jika kita menggandakan kedua bilangan ini, rasionya tetap sama.

Kita bisa membagi 224 dengan 30 dengan mudah. Kita membaginya dengan 10 (22,4) kemudian membaginya dengan 3.

224 : 30 = 7,4667

Kita bisa mengunakan cara pintas untuk mencari rata-rata jawabannya. Kita tahu bahwa bagian pertama jawaban adalah 7,4. Kita meletakkan 1 di depan 667 sehingga menjadi 1.667 kemudian membaginya dengan 2.

      1.667 : 2 = 833,5

Kita meletakkan 833 di belakang 7,4 sehingga jawaban kita menjadi 7,4833. Jawaban ini sangat tepat.

      Pada umumnya, setiap kali kita mengulang proses ini, kita menggandakan bilangan dengan angka-angka tertentu yang akurat.

Marilah kita mencobanya lagi.

      Salah satu perhitungan di luar kepala yang telah kita lakukan adalah akar kuadrat dari 500. Kita bisa melanjutkan proses ini di luar kepala untuk meningkatkan keakuratan jawaban kita.

       Kita menghitung

 

Sekarang kita tidak membagi 500 dengan 20 melainkan dengan 22,5. apakah sulit? Tidak, jika kita menggandakan bilangan-bilangan yang kita punyai sebanyak dua kali. Jika kita menggandakan 500 dan 22,5, hasilnya adalah 1.000 dan 45. Jika kita menggandakannya 5lagi, hasilnya adalah 2.000 dan 90.

      Kita membagi 2.000 denagan 90 untuk mendapatkan perkiraan yang lebih akurat. Untuk membagi 2.000 dengan 90, kita membaginya dengan 10 terlebih dahulu kemudian dengan 9.

      2.000 : 10 = 200

      200 : 9 = 22,22

Sekarang, kita membagi selisih antara 22,22 dan 22,5. 22 di depan tanda desimal tentu saja tepat. Untuk mencari angka-angka setelahnya, kita akan mencari rata-rata antara 22 dan 50.

      22 + 50 = 72

      72 : 2 = 36

Tambahkan 0,36 pada 22 untuk mendapatkan jawaban  yang akurat.

      22 + 0,36 = 22,36                    JAWABAN

Dengan sedikit latihan, kamu akan bisa melakuakan perhitungan ini di luar kepala. Cobalah!